Metodo De Sustitucion

El Método De Sustitución Consiste En Despejar Una De Las Incógnitas De Una De Las Ecuaciones Y Remplazar Este Valor En El Otra Ecuación De Esta Forma Se Llega A Una Ecuación De Primer Grado Con Una Incógnita .


Ejemplo :

                          { 4x-3y =6
                          { 2x+4y = 14

Para este metodo debemos  numerar las ecuaciones y posteriormente expresar una de ellas en terminos de una variables :

                 {4x-3y = 6    (1)
                 {2x+4y = 14  (2)

Se puede dejar en terminos de cualquier variable y si se  siguen los pasos adecuadamente , se llegara al resultado ; sin embargo , se recomienda  siempre usar las variables  que tenga el coeficiente  menor , de preferencia la unidad . Por lo tanto , obtenemos la siguiente exprecion :

  1 .De la ecuacion (2) dejamos a la variable (x) expresado en terminos de( y) , como se realizo en el metodo de igualacion.
       
            x = 14 - 4y 
                       2 
                                                          
                                                              
 2.Ahora sustituimos en la ecuacion (1) la exprecion obtenida en el lugar de la variable x ; posteriormente, multiplicamos toda la ecuacion por 2 para eliminar los denominadores :


           4 ( 14 - 4y  )  - 3y =6
                     2  
          2[  ( 14 - 4y ) - 3y ] =  6 ( 2)
            [          2              ]
         4 ( 14 - 4y )- 6y = 12   
         56 - 16y -6y = 12         
         -22y = 12 - 56
         -22y = -44
         -22y = - 44
         -22        -22

                   y = 2

Para calcular el valor de la variable  (x ), basta con usar la exprecion que corresponde a (x ), sustituyendo el valor  de (y ) :
           x = 14 - 4y
                      2
           x = 14 - 4 (2)
                       2
           x = 6
                  2
                                               
           x = 3

Por lo tanto , se han calculado los valores que satisfacen las condiciones del sistema  de ecucaciones .

metodo de igualacion

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:
Procedimiento:

     i.        Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

   ii.        Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

  iii.        Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

  iv.        Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

   v.        

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las

 condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

     i.       

                                                                                                                       ii.         

                                                                                                   iii.        x + y = 600

                                                                                                         iv.           y = 2x

   v.       

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

  vi.     

   y = 2x
                ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x

vii.        

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

                                                                                                                  viii.         

                                                                                            ix.        y = 2x ⇒ y = 400

   x.       

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

                                metodo por suma y resta

1.Se multiplican las ecuaciones por los números que hagan que ambas ecuaciones tengan el coeficiente de las variables iguales, excepto tal vez por el signo.

2.Se suman o se restan las ecuaciones para eliminar esa variable.

3. Se resuelve la ecuación resultante para la variable que quedo.

4.Se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

5. Comprobamos la solución sustituyendo los valores en las ecuaciones originales.

Ejemplo:

3x - 6y = 5
(2) 4x + 3y = -1
3x - 6y =5
8x - 6y = -2
11x = 3
x = 3/11
3x = -6y = 5
3/1 (3/11) -6y = 5
9/11 - 6y/1 = 5/1
9 - 66y = 55
-66y = 55 - 9
-66y = 46
y = 46/-66
y = 23/33

                                 Metodo por determinante

3x + y = 5
4x + 2y = 8

Determinante = 3    1       3 (2) - (4) (1)
                          4     2       6 - 4 = 2           Determinante 2
                          x     y

Determinante x = 5       1      5 (2) - (8) (1)
                             8       2       10 - 8 = 2       Determinante x = 2
                            T.I      y
Determinante y = 3      5      3 (8) - (4) (5)
                             4      8        24 - 20 = 4    Determinante y = 4
                             x      T.I

Para obtener el resultado de "x" y "y" se divide el determinante x entre el determinante del sistema. Para obtener y divido el determinante y entre el determinante del sistema.
x = 2/2        x = 1
y = 4/2        y = 2